La medidas
de centralización nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen
los datos.
La medidas
de centralización son:
Moda
La moda es
el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Se representa
por Mo.
Se puede
hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.
Hallar la moda de la
distribución:
2, 3, 3, 4,
4, 4, 5, 5 Mo= 4
Si en un
grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y
esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal,
es decir, tiene varias modas.
1, 1, 1, 4,
4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9
Cuando todas
las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.
2, 2, 3, 3,
6, 6, 9, 9
Si dos
puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es
el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3,
5, 5, 7, 8Mo = 4
Cálculo de la moda para datos
agrupados
1º Todos los
intervalos tienen la misma amplitud.
Li es el
límite inferior de la clase modal.
fi es la
frecuencia absoluta de la clase modal.
fi--1 es
la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clase modal.
fi-+1 es
la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
ai es la
amplitud de la clase.
También se
utiliza otra fórmula de la moda que da un valor
aproximado de ésta:
Ejemplo
Calcular la moda de
una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
|
fi
|
[60, 63)
|
5
|
[63, 66)
|
18
|
[66, 69)
|
42
|
[69, 72)
|
27
|
[72, 75)
|
8
|
|
100
|
2º Los
intervalos tienen amplitudes distintas.
En primer
lugar tenemos que hallar las alturas.
La clase
modal es la que tiene mayor altura.
La fórmula de
la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:
Ejemplo
En la
siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y
sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.
|
fi
|
hi
|
[0, 5)
|
15
|
3
|
[5, 7)
|
20
|
10
|
[7, 9)
|
12
|
6
|
[9, 10)
|
3
|
3
|
|
50
|
|
Mediana
Es el valor que
ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos
están ordenados de menor a mayor.
La mediana se
representa por Me.
La mediana se
puede hallar sólo para variables cuantitativas.
Cálculo de la
mediana
1 Ordenamos los datos de menor
a mayor.
2 Si la
serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación
central de la misma.
2, 3, 4, 4,
5, 5, 5, 6, 6Me= 5
3 Si la
serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre
las dospuntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10,
11, 12Me= 9.5
Cálculo de la mediana para datos
agrupados
La mediana se
encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega
hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
Es decir
tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre
.
Li es el
límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
es la semisuma de las
frecuencias absolutas.
Fi-1 es
la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la
amplitud de la clase.
La mediana es independiente de
las amplitudes de los intervalos.
Ejemplo
Calcular la mediana de
una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
|
fi
|
Fi
|
[60, 63)
|
5
|
5
|
[63, 66)
|
18
|
23
|
[66, 69)
|
42
|
65
|
[69, 72)
|
27
|
92
|
[72, 75)
|
8
|
100
|
|
100
|
|
100 / 2 = 50
Clase modal:
[66, 69)
Media aritmética
La media
aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el
resultado entre el número total de datos.
es el símbolo de la media
aritmética.
Ejemplo
Los pesos de
seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.
Media aritmética para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en
una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:
Ejercicio de
media aritmética
En un test
realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que
muestra la tabla. Calcula la puntuación media.
|
xi
|
fi
|
xi · fi
|
[10, 20)
|
15
|
1
|
15
|
[20, 30)
|
25
|
8
|
200
|
[30,40)
|
35
|
10
|
350
|
[40, 50)
|
45
|
9
|
405
|
[50, 60
|
55
|
8
|
440
|
[60,70)
|
65
|
4
|
260
|
[70, 80)
|
75
|
2
|
150
|
|
|
42
|
1 820
|
Propiedades
de la media aritmética
1 La suma de
las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución
respecto a lamedia de la misma igual a cero.
Las suma de
las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es
igual a 0:
8 − 7.6 + 3 −
7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =
= 0. 4 − 4.6
− 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
2 La media
aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los
valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando
dicho número coincide con la media aritmética.
3 Si a
todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media
aritméticaqueda aumentada en dicho número.
4 Si
todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media
aritmética queda multiplicada por dicho número.
Observaciones
sobre la media aritmética
1 La media se
puede hallar sólo para variables cuantitativas.
2 La media es independiente de
las amplitudes de los intervalos.
3 La media es
muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con
los siguientes pesos:
65 kg, 69kg ,
65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La media es
igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco
representativa de la distribución.
4 La media no
se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.
|
xi
|
fi
|
[60, 63)
|
61.5
|
5
|
[63, 66)
|
64.5
|
18
|
[66, 69)
|
67.5
|
42
|
[69, 72)
|
70.5
|
27
|
[72, ∞ )
|
|
8
|
|
|
100
|
En este caso
no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca
de clase de último intervalo.
llamado centro de gravedad.
, siendo la expresión que nos permite calcularlo:![\rho_{X,Y}={\sigma_{XY} \over \sigma_X \sigma_Y} ={E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] \over \sigma_X\sigma_Y},](https://upload.wikimedia.org/math/2/a/6/2a66d6e8dc4c07c0be10df0b21707ac9.png)
es la covarianza de 
es la desviación típica de la variable 
es la desviación típica de la variable 
a:
.
